Zadatak 1

Dinamika širenja koronavirusa i kako ga zaustaviti

Omer momče i Merima djevojka iz prošlog zadatka su se ipak susreli i Merima djevojka se nažalost zarazila koronavirusom. Kako se prvi simptomi zaraze koronavirusom primijete tek nakon približno 5 dana, Merima je nakon toga otišla kući i bezbrižno se sastajala sa svojom porodicom i prijateljima, nesvjesno šireći virus kroz svoju zajednicu, a odakle se virus počeo širiti dalje. U ovom zadatku ćemo primjenom različitih modela pokušati (grubo) predvidjeti dinamiku širenja koronavirusa u Bosni i Hercegovini i uticaj mjera opreza na brzinu širenja epidemije. Napominjemo da su modeli koje koristimo nedovoljno precizni i tačni kako bi se na osnovu njih donosile odluke o potrebnim mjerama, ali su dovoljno dobri da vam daju grubi osjećaj za najvažnije faktore koji utiču na širenje i usporavanje epidemije i moći ćete sami vidjeti kako to fizičko distanciranje “pegla” krivu rasta broja zaraženih i stoga opterećenje zdravstvenog sistema.

U svakom dijelu zadatka pretpostaviti da su u početnom trenutku Omer i Merima jedini zaraženi u Bosni i Hercegovini, u kojoj po posljednjem popisu živi 3.5 miliona stanovnika, da iz vana ne dolaze druge zaražene osobe, te da se nikakve mjere opreza ne poduzimaju (osim u dijelu 4).

Dio 1.

Za početak razmotrimo sljedeći jednostavan model: svaka osoba tokom vremenskog intervala od Δt = 1 dan prosječno sretne 5 osoba, a vjerovatnoća zaraze tokom svakog susreta sa zaraženom osobom je 10%. Radi jednostavnosti uzmite da svaka zaražena osoba susreće različite osobe i da je broj zaraženih malen u odnosu na ukupnu populaciju, te da zaraženi ne razvijaju imunitet niti se oporavljaju (ovo znači da je broj novozaraženih direktno proporcionalan broju zaraženih).

1.1. Koristeći ove pretpostavke definišite odgovarajući matematički model širenja zaraze. Pomoć: ukoliko je broj zaraženih (i)tog dana N_i, razmislite koliki će biti porast broja zaraženih za jedan dan (možete koristiti i neki kraći vremenski interval).

1.2. Koristeći vaš matematički model izračunajte broj zaraženih tokom prvih 30 dana širenja zaraze i skicirajte grafik zavisnosti broja zaraženih od vremena. Napomena: ukoliko se odlučite izračunati broj zaraženih (i+1)tog dana na osnovu zaraženih (i)tog dana, važi rezultati će imati vrlo primjetnu grešku u odnosu na stvarno rješenje. Kako biste izbjegli ovo, umjesto intervala Δt = 1 dan razmatrajte interval od makar Δt = 0.01 dan.

1.3. Nakon koliko dana će 50% čitave populacije Bosne i Hercegovine biti zaraženo? Šta će se matematički dogoditi kasnije, i da li to ima smisla?

Pomoć dio 1: Jedna zaražena osoba tokom dana zarazi X osoba, tj. imamo r = X novozaraženih/dan/zaraženih (X izračunajte sami). Ako je u nekom trenutku zaraženo N(t) osoba, to znači da će se nakon vremena Δt zaraziti dodatnih ΔN = r*N(t) *Δt osoba. Ovu diferencijalnu jednačinu (dN/dt = r*N) možete riješiti analitički tj. dobiti izraz za funkciju N(t) koja je rješava (pogledajte kurseve iz “pomoć” na kraju), ili je možete riješiti iterativno tako što odaberete neki kratki vremenski korak Δt (“timestep”) i izračunate N(t+Δt) na osnovu N(t), pa onda izračunate N(t+2*Δt) na osnovu N(t+Δt) i tako dalje. Kako je i ranije bilo napomenuto, i pošto se tokom jednog dana broj zaraženih osjetno mijenja i pošto novozaraženi odmah postaju zarazni (a ne tek sutra), korištenje vremenskog koraka (“timestep”) dužine Δt = 1 dan će dati loš rezultat i stoga trebate koristiti kraći vremenski interval, npr. Δt = 0.01 dan. Kako ne biste ručno vršili sve ove proračune, iskoristite resurse koje imate na raspolaganju, bio to Excel, programski kod, ili nešto treće (pogledajte pravilnik ako niste sigurni šta je dozvoljeno a šta ne).

Dio 2.

Model iz prethodnog dijela predviđa da će broj zaraženih rasti u beskonačnost iako postoji ograničen broj stanovnika, što ukazuje na grešku u modelu. Razlog za ovo je što zaražena osoba može zaraziti samo osobe koje nisu već zaražene (tj. koje su zdrave). Naprimjer, ako je u nekom trenutku 60% ukupno stanovništva zaraženo, onda će zaražena osoba u samo 40% dnevnih susreta sresti zdravu osobu kojoj može prenijeti zarazu. Radi jednostavnosti opet uzmite da zaraženi ne razvijaju imunitet niti se oporavljaju.

2.1. Koristeći naše nove pretpostavke, prepravite vaš raniji model i ponovite proračun iz dijela 1.2. ali za period od 50 dana.

2.2. Nakon koliko dana će približno 25%, 50%, 75% i 100% populacije Bosne i Hercegovine biti zaraženo? U čemu se rezultati razlikuju od rezultata iz prošlog modela?

2.3. Izračunajte porast u broju zaraženih tokom dana 5, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Skicirajte grafik zavisnost broja novozaraženih od vremena. U kojem trenutku je porast broja zaraženih maksimalan tj. kada se epidemija najbrže širi?

Pomoć dio 2: Da biste uzeli u obzir “efekat” opisan u ovom dijelu zadatka, potrebno je da desnu stranu jednačine iz dijela 1 (ΔN = r*N(t)*Δt) pomnožite sa udjelom zdravih osoba u trenutku t. Ukoliko sada desnu stranu izrazite samo preko broja zaraženih, dobiti ćete jednačinu koju možete riješiti analitički, ili kao ranije, iterativnim numeričkim proračunom.

Dio 3.

Kao što možete već naslutitii, ni naš model gore nije adekvatan. Razlog za to je što smo zanemarili činjenicu da se dio zaraženih vremenom oporavi i postaje imun tj. da se ove osobe ne mogu ponovo zaraziti i da ne širi zarazu dalje. Pored toga, zanemarili smo jedno od osnovnih mjera, a to je izolacija zaraženih, koji time prestaju biti u mogućnosti da dalje šire zarazu. Kako bismo opisali ove dvije pojave, stanovništvo ćemo matematički razdvojiti u tri različite grupe:

zdrave koji nemaju imunitet (S = susceptible) tj. osobe koje se potencijalno mogu zaraziti,

zaražene (I = infectious) tj. osobe koje prenose zarazu pri kontaktu sa zdravima, i koji nakon ~5 dana prelaze u,

izolirane (R = removed) tj. zaražene osobe koje su prešle u izolaciju i više ne mogu nikoga zaraziti, a koje kasnije postaju oporavljene i stoga imune (i stoga se ne mogu zaraziti niti zaraziti druge).

Ovakav model epidemije se naziva SIR model a o njemu možete više naučiti u dijelu “pomoć” na kraju (drugi kurs, lekcija 3). Kao što ste primijetili, ovdje nam je potreban još jedan parametar, a to je prosječno vrijeme od trenutka zaraze pa do trenutka izolacije tj. vrijeme tokom kojeg je osoba efektivno zarazna), za koje ćemo uzeti da iznosi 5 dana. Kako biste podjednostavili svoj proračun, možete uzeti da ovo znači kako u toku jednog dana približno ⅕ = 20% svih zaraženih prelazi u izolaciju.

3.1. Koristeći se sličnim pristupom kao u ranijim dijelovima, napišite jednačine koje opisuju ovaj model. Pomoć: ukoliko je (i)tog dana broj zdravih S_i, broj zaraženih I_i, a broj izolovanih/oporavljenih/imunih R_i, kolike su promjene ovih vrijednosti tog dana (ili za neki kratki vremenski interval Δt)?

3.2. Izračunajte broj zaraženih I(t) i izolovanih/imunih/oporavljenih R(t) za period od 80 dana, te skicirajte zavisnost ove dvije veličine od vremena na jednom grafiku.

3.3. Da li će se u nekom trenutku zaraziti približno 25%, 50%, 75% i 100% populacije Bosne i Hercegovine, i ako da, kada? U čemu se rezultati ovog modela razlikuju od prethodnog modela?

3.4. Izračunajte porast u broju zaraženih tokom dana 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. Na osnovu rezultata komentarišite na vijesti u medijima sa naslovom “Danas smanjen broj novozaraženih” - da li to znači da će širenje zaraze uskoro stati ili ne, te da li će se broj zaraženih i dalje povećavati ili ne?

Pomoć dio 3: U ovom dijelu obratite pažnju na to da morate voditi računa o veličinama S(t), I(t) i R(t), s tim da je njihov zbir naravno jednak ukupnom broju stanovnika. Ukoliko napišete (tri) jednačine za sve tri veličine, za R(t) ćete dobiti jednačinu ΔR = 1/𝜏 *I(i)*Δt, dok jednačinu za ΔS možete dobiti sličnim razmišljanjem kao iz dijela 2 i uračunavanjem smanjenja broja zaraženih zbog oporavka/izolacije. Ako niste sigurni da li ste dobili dobre jednačine, možete uradite sljedeće: ukoliko uzmete da je vrijeme tokom kojeg je osoba zarazna beskonačna tj. da zaraženi nikada ne prelaze u izolaciju niti postaju imuni (kao što je bio slučaj u dijelu 2), jednačine iz ovog dijela bi trebale postati iste kao u dijelu 2 jer su onda u pitanju identični modeli.

Dio 4.

Sada ćemo konačno uvesti mjere opreza u naš model, kao što se i događa u stvarnosti.

4.1. Za početak, recimo da su (zbog slučajeva u ostatku svijeta) već prvog dana mjere opreza bile naređene, i da su se zbog toga ljudi dosta rjeđe susretali nego obično tj. primjenjuju fizičko distanciranje od drugih osoba. Ukoliko se vratite na početak zadatka, lako ćete zaključiti da ovo smanjuje broj osoba koje zaraženi mogu svaki dan sresti, te stoga i zaraziti. Ukoliko uzmemo da je broj dnevnih susreta 3 (djelimično pridržavanje mjera) i 2 (ozbiljnije poštivanje mjera) i 1 (baš ozbiljno), koristeći model iz dijela 3 skicirajte na istom grafiku zavisnosti broja zaraženih od vremena za sve tri vrijednosti dnevnih susreta.

4.2. Kakav uticaj imaju mjere opreza na brzinu kojom se širi zaraza, maksimalni broj zaraženih (u jednom trenutku) trajanje epidemije i ukupan broj zaraženih tokom čitave epidemije?

Pomoć

:

Preporučujemo svim učesnicima da pregledaju ovaj niz predavanja o modelima rasta populacija.

Pored toga, toplo preporučujemo svim učesnicima da pregledaju dijelove ovog kursa jer može biti koristan za ovaj kao i za buduće zadatke. Za ovaj zadatak korisno je pregledati prve tri lekcije (Lesson 1 - Houston We Have a Problem, Lesson 2 - Houston We Have a Solution, Lesson 3 - Contagion). Kroz kurs može se naučiti o diferencijalnim jednačinama, modeliranju sistema i primjerima modeliranih sistema te korištenje numeričkih alata za rješavanje modela te primjere koda u Pythonu.

Kodove u Pythonu možete pisati na sajtu na kojem se nalazi kurs gore ili na ovom sajtu.

Zadaci za zagrijavanje

Matematika

Zadatak 0.1: Ljubav u doba korone

Iako su izdate sve preporuke za socijalno distanciranje, Omer i Merima ne mogu izdržati da se ne vide svaki dan te su odlučili da izađu u šetnju. Nažalost, Omer momče je zaražen koronavirusom, ali nije primijetio simptome te stoga nije ni svjestan da ugrožava druge osobe. Dogovor je bio da oboje dođu u 12 sati kod Sebilja na Baščaršiji. Osoba koja prva dođe čekat će drugu osobu maksimalno 20 minuta i vratiti se kući ako druga osoba ne dođe.

Pod pretpostavkom da je vjerovatnoća kašnjenja, koje ne može biti veće od 60 minuta, uniformna i da je vjerovatnoća prelaska virusa sa zaražene osobe na nezaraženu 90% u slučaju kontakta, koja je vjerovatnoća da zaraza prijeđe sa Omera na Merimu?

Pomoć za izradu zadatka: ako vam je potrebna pomoć u izradi zadatka, možete pogledati prvo predavanje na temu vjerovatnoće sa linka ovdje

Fizika

Zadatak 0.2: Nazdravlje!

Vaš prijatelj Marko, koji ne poštuje propise i stoga ne nosi masku, kihne tako da se kapljice rasprše iz njegovih usta brzinom 3.6 m/s u prostor koji ima oblik konusa (ukupne) širine 30°, gdje je centralna osa konusa (osa simetrije) horizontalna.

Procijenite koliko daleko ispred vašeg prijatelja trebate stajati kako kapljice, koje mogu prenijeti koronavirus, ne bi mogle doći do vas i vaše odjeće. Procijenite kolika je površina koju će kapljice pokriti (koronavirus može preživjeti na površinama par sati, čak i dana). Savjetujemo vam da zanemarite otpor zraka.

Pomoć za izradu zadatka: pregledajte sljedeća dva predavanja sa Youtube kanala “Šejla objašnjava”: Kosi hitac 1 i Kosi hitac 2

Računarstvo

Zadatak 0.3: Nabavka s predumišljajem

Majka i otac idu u kupovinu da obezbijede zalihe za krizu izazvanu koronavirusom. Oni imaju jedno ograničenje, a to je maksimalni budžet koji mogu priuštiti za ovu namjenu. Njihov budžet iznosi 250 BAM.

Cilj roditelja je da maksimiziraju vrijeme koje mogu preživjeti koristeći te zalihe. Na izbor imaju više artikala prikazanih u sljedećoj tabeli sa naznačenom težinom po pakovanju i vremenom preživljavanja koristeći taj artikal. Dostupne su neograničene zalihe svih artikala. Pripremite listu i količinu artikala koje trebaju kupiti.

Koristeći bilo koji programski jezik ili pseudokod, predložite algoritam koji se može koristiti za rješavanje ovakvih problema u slučaju bilo koje cijene artikala i budžeta.

	Cijena (BAM)	Preživljavanje (dana)
Toaletni papir	4	0
Riža (5 kg)	10	10
Riža (1 kg)	2	2
Brašno (25 kg)	18	25
Brašno (5 kg)	5	5
Grah (5 kg)	20	15
Grah (1 kg)	5	3

Pomoć za izradu zadatka: ovo je varijanta poznatog “Knapsack” problema. Korisni linkovi:

Intuicija iza knapsack problema, kurs Diskretna optimizacija na Coursera platformi

Uvod u napredne algoritme, kurs na platformi Udacity - pregledati predavanje/lesson 3

Online plaforma za programiranje (tj. ne morate ništa instalirati na svojem kompjuteru)

Tutorijal za programiranje u Python programskom jeziku

Pravilnik

Generalni uslovi

Ovaj izazov se sastoji od 6 zadataka iz 3 različite oblasti – matematike, fizike i programiranja - koji su ujedno i zabavni a i korisni za razvijanje vašeg znanja.

Počevši od 5. aprila, svake nedjelje naveče po jedan zadatak biti će poslan na email registrovanim učesnicima, a rok rješavanja biti će do objavljivanja sljedećeg zadatka tj. 7 dana. Zadaci će biti objavljeni i na našoj web, Facebook i Instagram stranici.

Kako biste dobili osjećaj za težinu i tip zadataka, objavili smo zadatke za zagrijavanje – ovi zadaci neće bodovani ali vam preporučujemo da ih pokušate riješiti.

Pravo učešća i registracija

Pravo na učešće imaju učenici srednjih škola (prva kategorija) i studenti Bachelor studija (druga kategorija).

Takmičenje je samostalnog karaktera, stoga svi učesnici moraju raditi samostalno tj. bez ičije pomoći.

Registraciju možete izvršiti preko formulara ovdje.

Slanje rješenja

Rješenja trebate poslati na naš email [email protected], isključivo sa emaila koji ste naveli pri registraciji. Naslov emaila mora biti “Zadatak broj 1” (ili drugi odgovarajući broj) ukoliko želite dobiti automatsku potvrdu da je vaše rješenje primljeno. Ukoliko želite popraviti ili “uljepšati” vaše rješenje možete poslati vaše novo rješenje u odgovoru (“reply”) na vaš ranije poslan email.

Format rješenja može biti Word, PDF ili LaTeX, eventualno sken ili slika rukom napisanog rješenja. U tom slučaju rukopis mora biti čitljiv sa slike a slika mora biti dovoljno visoke rezolucije. Ukoliko nemate instaliran LaTeX, možete koristiti Overleaf koji pruža online LaTeX okruženje.

Naziv fajla mora biti “Zadatak broj 1 ime i prezime”, a sve stranice rješenja numerisane. Ukoliko šaljete slike/skenove, svaka stranica i slika mora biti jasno numerisana.

Dozvoljeno je, čak i poželjno korištenje resursa sa interneta, numeričkih alata (npr. Wolfram Alpha), programskih jezika (Python i sl.), ali u tom slučaju ste obavezni navesti izvore/alate koje ste koristili. Naprimjer, ukoliko ste pronašli neku korisnu formulu na Wikipediji obavezni ste navesti link u vašem rješenju, a slično važi i za knjige, Youtube snimke i sl. Ukoliko ste neki zadatak riješili numerički obavezni ste poslati vaš programski kod i sve rezultate koje ste dobili.

Sve pretpostavke i aproksimacije koja koristite pri rješavanju morate jasno navesti. Provjerite da li vaš rezultat ima smisla, npr. da li ima smislen red veličine: ukoliko je neka vjerovatnoća preko 100% ili ako je visina osobe u kilometrima očigledno imate grešku.

Rješenja trebati poslati što je prije moguće jer time možete dobiti bonus bodove za brzinu. Ukoliko ste riješili zadatak ali vam je potrebno više vremena da napišete detaljno i čitljivo rješenje, možete nam prvo poslati krajnji rezultat (obično je to broj ili formula), nakon čega ćete imati 48 sati (a prije isteka roka) da pošaljete detaljno rješenje.

Ukoliko se ukaže potreba (nekoliko dana nakon objave zadataka ne pristigne dovoljno rješenja), upute koje olakšavaju rješavanje zadatka će biti objavljene. U tom slučaju sva rješenja pristigla nakon toga će biti bodovana prema maksimalnom broju bodova umanjenim za 10%.

Bodovanje

Svaki tačno riješen zadatak nosi po 20 bodova, osim zadataka za zagrijavanje.

Najbržih 5 tačnih rješenja će dobiti bonus od redom (5, 4, 3, 2, 1) bodova.

Najbolja rješenja će biti objavljena kao zvanična rješenja na našem sajtu i dobiti bonus od 5 bodova. Kriterij pri odabiru najboljih rješenja su tačnost, jasnoća rješenja, opravdanost pretpostavki i aproksimacija, te detaljnost i čitljivost vašeg rješenja.

Rješenja koja sadrže zanimljive ideje (npr. zanimljiv pristup rješenju) će biti objavljena na našem sajtu i dobiti bonus od 2 boda.

Rang lista će biti objavljena svake sedmice nakon što rješenja budu pregledana, a sadržavati će kodno ime učesnika, kategoriju kojoj učesnik pripada (srednja škola ili Bachelor studente), te osvojeni broj bodova na datom zadatku i ukupan broj bodova.

Nagrade

Po završetku izazova, najbolja 3 učesnika iz kategorije srednjih škola i najbolja 3 učesnika Bachelor studija će dobiti vrijedne nagrade. Šta su tačno nagrade će biti iznenađenje :)

Pored toga, svaki učesnik koji pošalje rješenja svih 6 zadataka* ima šansu da bude nasumično odabran za dobitnika dodatne nagrade (*neovisno o tačnosti rješenja, sve dok se vidi da je učesnik zapravo pokušao doći do rješenja svakog zadatka).

Svi učenici koji sakupe makar 20 poena će dobiti (online) potvrdu o učešću na izazovu, a najboljih 10 iz svake kategorije će dobiti i potvrdu o osvojenom mjestu na izazovu.

Kaznene odredbe

Narušavanje gore definisanih pravila učestvovanja će rezultirati diskvalifikacijom sa takmičenja.